Is het Black-Scholes-model van toepassing op American Style-opties?

Het verschil tussen een Amerikaanse en een Europese optie is dat de Amerikaanse optie op elk moment kan worden uitgeoefend, terwijl de Europese optie alleen op de afwikkelingsdatum kan worden geliquideerd. De Amerikaanse optie is een “continuous time” instrument, terwijl de Europese optie een “point in time” instrument is. Black Scholes is van toepassing op de laatstgenoemde, Europese, optie. Onder “bepaalde” (maar lang niet alle) omstandigheden liggen de twee dicht genoeg bij elkaar om als substituten te worden beschouwd.

Een van hun discipelen, Robert Merton, heeft het “getweakt” om Amerikaanse opties te beschrijven. Hierover, en over andere aanpassingen, wordt jaren later nog gediscussieerd.

Black-Scholes is “dichtbij genoeg” voor Amerikaanse opties omdat er gewoonlijk geen redenen zijn om vervroegd uit te oefenen, dus de mogelijkheid om dat te doen doet er niet toe. Wat goed is, want het is moeilijk wiskundig te modelleren, heb ik gelezen.

Vervroegde uitoefening zou meestal worden veroorzaakt door een vreemde misprijs om een of andere technische / markt-actie reden waarbij de theoretische optiewaarderingen in de war zijn. Als je bijvoorbeeld een call verkoopt die ver in-the-money is en geen tijdswaarde krijgt (na de spread), dan heb je de call waarschijnlijk verkocht aan een arbitrageur die hem gewoon gaat uitoefenen. Maar dit soort ongewone zaken veranderen niet veel aan het grote geheel.

Een paar opmerkingen binnen het Black-Scholes-kader:

• Amerikaanse calls hebben dezelfde prijs als Europese calls op niet-dividend betalende activa.
• De Black-Scholes formule is alleen van toepassing op Europese opties (en, door het bovenstaande, op Amerikaanse calls op niet-dividend betalende activa).
• Door de call-put pariteit, als je Europese call prijzen hebt voor sommige expiratiedata en strikes, heb je ook de Europese put prijzen voor die expiratiedata en strikes.
  
• Als je Europese callkoersen hebt voor een bepaalde expiratiedatum T voor alle strikes, kun je gemakkelijk de prijs berekenen van elke “Europese” payoff voor die expiratie (bijvoorbeeld een digitale call V = 1{S>K}, of een parabool V = S^2, of wat dan ook). Conceptueel vorm je vlinder-spreads voor een reeks van oplopende strikes, en die geven je de “risico-neutrale” kans dat je daar uitkomt, en dan integreer je gewoon over je uitbetaling.

Vervolgens kun je nu het Black-Scholes raamwerk gebruiken (aandelenkoers is een Geometrische Brownse Beweging, geen transactiekosten, enkele rentevoet, enz. enz.) en numerieke methoden (zoals een PDE solver) om Amerikaanse stijl opties numeriek te prijzen, maar niet met een eenvoudige gesloten formule (hoewel er gesloten-vorm benaderingen zijn).

Een kleine kanttekening. Men kan beweren dat de S&P een gemiddeld rendement heeft van pakweg 10%, en een standaardafwijking van pakweg 14%, maar als je daarmee aan de gang gaat, ontdek je dat de werkelijke rendementen niet zo goed passen in de standaard klokcurve. Marktanomalieën produceren veel vaker de “100-jarige vloed” dan voorspeld over zelfs maar een periode van 20 jaar. Dit betekent gewoon dat het model de werkelijkheid aan de staart niet weergeeft, ook al zien de +/- 2 standaarddeviaties er mooi uit.

Dit geldt ook voor de Black-Sholes (ik had het bijna afgekort tot initialen, maar dacht toen beter na, ik vind het eigenlijk wel een mooi model). Het onderscheid tussen Amerikaans en Europees is klein genoeg dat de precisie van het model groter is dan het verschil van deze twee optiestijlen. Ik denk dat als je naar het model en de werkelijke prijsstelling kijkt, je de volatiliteit van een bepaald aandeel kunt bepalen aan de hand van prijzen rond de uitoefenprijs, maar als je vervolgens de goed out of money opties modelleert, zie je vaak dat de markt zijn eigen waardering creëert.

Ja, uw interpretatie is juist. Strikt genomen wordt het Black-Scholes-model gebruikt om de prijs van Europese opties te bepalen. De payoff (prijs) van Europese en Amerikaanse opties ligt echter dicht genoeg bij elkaar en kan als benadering worden gebruikt als er geen dividenden op de onderliggende waarde worden uitgekeerd en de liquiditeitskosten dicht bij nul liggen (bv. in een scenario met een zeer lage rente).

Op dit moment zijn er geen gesloten-vorm methoden om Amerikaanse opties te prijzen. Tenminste geen die ik ken. U moet vertrouwen op lattices voor multi-period binomial pricing , die meestal recursief is.

Aangezien er geen voordeel verbonden is aan het vervroegd uitoefenen van een Amerikaanse call-optie, kunnen we de formule van Black Schole gebruiken om de optie te evalueren. Amerikaanse put-opties zullen echter eerder vervroegd uitgeoefend worden, wat betekent dat Black Schole niet van toepassing is voor dit type optie.