Wat is de formule voor de maandelijkse betaling van een hypotheek met aanpasbare rente?

Bij een aanpasbare rentehypotheek (ARM) is de aanvangsrente voor een bepaalde periode gegarandeerd. Na deze periode kan de rente omhoog of omlaag gaan.

De maandelijkse betaling voor deze leningen wordt berekend alsof de rente nooit verandert gedurende de looptijd van de lening. Maar als de rente verandert, verandert ook de maandelijkse betaling om de verandering in de rente te dekken, zodat de hypotheek nog steeds in dezelfde hoeveelheid tijd wordt afbetaald.

Met behulp van uw voorbeeld, laten we zeggen dat je een 25-jarige hypotheek die is een 5-jarige ARM. De initiële rente is 3%, wat betekent dat voor de eerste 5 jaar, uw tarief is vastgesteld op 3%. De maandelijkse betaling voor die eerste 5 jaar is hetzelfde als het zou zijn als je een 25-jarige vaste rente hypotheek tegen 3%. Hier is de formule:

waar:

• P = maandelijkse betaling
• L = Leningbedrag
• c = maandelijkse rentevoet. Dit is de jaarlijkse rentevoet gedeeld door 12.
• n = aantal maanden in de lening (jaren * 12)

In ons voorbeeld, als de lening $100.000 is, de rente 3% is (maandelijkse rente is 0,25%, of 0,0025), en het aantal maanden is 300 (25 jaar), zal de maandelijkse betaling $474,21 zijn.

Nu, 5 jaar in een hypotheek van 25 jaar, vertelt het afschrijvingsschema ons dat de resterende hoofdsom $85.505,48 zal zijn.

Dus als de rente op dat moment naar 4% springt, wordt de maandelijkse betaling zodanig herberekend dat de lening nog steeds in de oorspronkelijke 25-jaarstermijn wordt afbetaald. Om de nieuwe betaling te vinden, gebruikt u opnieuw de bovenstaande formule, maar deze keer L=$85.505,48, c=0,04/12=0,0033333, en n=20*12=240. De nieuwe maandelijkse betaling is $518,15.

Als je in plaats daarvan een lening had waarbij de betaling constant is over de hele leenperiode, maar de rentevoet verandert tijdens de periode (dit komt niet vaak voor), dan is daar ook een formule voor. Zie deze StackOverflow vraag voor de details.

Normaal gesproken zou bij een hypotheek met variabele rente de betaling variëren met de rente. Hier is echter een formule voor een vaste betaling, (waarbij, zoals het OP zegt, de aanpassing van de rentevoet van tevoren bekend is):

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

waarbij

d is the periodic payment
p is the loan amount
r1 is the periodic rate for the first m periods
r2 is the periodic rate for the next n periods

Hier is hoe de formule wordt afgeleid.

Eerst nemen we een vereenvoudigd probleem om de werking duidelijker te maken.

Laten we zeggen een lening van £100.000 afgelost in 5 jaarlijkse betalingen. De eerste 2 jaar tegen 3% en de volgende 3 jaar tegen 4%.

p = 100,000
r1 = 0.03
m = 2
r2 = 0.04
n = 3

Het geleende bedrag is gelijk aan de som van de contante waarde van de aflossingen. Dit zijn de contante waarden van de betalingen voor elke periode, verdisconteerd met de rentevoet(en):-

pv1 = d/(1 + r1)
pv2 = d/((1 + r1) (1 + r1))
pv3 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2))
pv4 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2))
pv5 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2) (1 + r2))

En p = pv1 + pv2 + pv3 + pv4 + pv5

Dit kan worden uitgedrukt als een sommatie

en omgezet in een formule door inductie :

p = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-d r1 + 
      d (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2)

Door herschikken ontstaat een formule voor de betaling:

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

∴ d = 22078.67

Aflossingstabel voor het bovenstaande resultaat met cijfers en formules

Terug naar het voorbeeld van het OP voor, laten we zeggen, een lening van een miljoen, met de effectieve rentevoet van 3% voor de eerste 5 jaar en 4% voor de volgende 20 jaar.

p = 1,000,000
r1 = (1 + 0.03)^(1/12) - 1 = 0.00246627
m = 5*12 = 60
r2 = (1 + 0.04)^(1/12) - 1 = 0.00327374
n = (25 - 5)*12 = 240

De betaling d = 5026.48

Noot voor het gebruik van nominale rentevoeten

Voor nominale rentevoeten van 3% en 4% die maandelijks worden samengesteld:

p = 1,000,000
r1 = 0.03/12 = 0.0025
m = 5*12 = 60
r2 = 0.04/12 = 0.00333333
n = (25 - 5)*12 = 240

De betaling d = 5057.80