Aangenomen dat log-rendement gedefinieerd wordt als de log van de koers van vandaag gedeeld door de koers van gisteren.
Geeft de kennis van dit ene stukje informatie (het gemiddelde log-rendement van een aandeel over een lange periode) iets aan over het aandeel? Is dit een veelgebruikte indicator?
Log-rendementen worden zeer vaak gebruikt in de financiële wiskunde, vooral in de kwantitatieve financiën. De belangrijke eigenschap is dat ze symmetrisch zijn rond 0 met betrekking tot optelling.
Deze eigenschap maakt het mogelijk om over een gemiddeld rendement te spreken.
Bijvoorbeeld, als een aandeel over een bepaalde periode 20% daalt, moet het 25% winnen om weer terug te zijn waar je begon. Voor het log-rendement daarentegen zijn de getallen 0,223 omlaag over een bepaalde periode, en 0,223 omhoog om weer terug bij af te zijn.
In die zin kun je gewoon een rekenkundig gemiddelde nemen en dat is logisch. Je kunt vrijelijk waarden op de log-rendementsschaal optellen of aftrekken, zoals log-rentevoeten of log-inflatievoeten. Terwijl het rekenkundig gemiddelde van (niet-log) rendementen gewoon zinloos is: Een aandeel met rendementen van -3% en +3% zou gemiddeld 0% hebben, terwijl het aandeel in feite in koers is gedaald?
De juiste benadering van directe koersrendementen zou zijn om een ander gemiddelde te nemen (bv. meetkundig) om een behoorlijk gemiddelde te krijgen. En toch zal het moeilijk zijn om andere informatie op te nemen, zoals het aftrekken van de risicovrije rente of het inflatiepercentage om tariefgecorrigeerde gemiddelde rendementen te krijgen.
Kortom: Log-rendementen zijn gemakkelijker te berekenen, vooral in grote hoeveelheden, maar niet-log-rendementen zijn gemakkelijker te begrijpen/voor te stellen als een getal op zich.
De beste manier om dit te onderzoeken is waarschijnlijk aan de hand van een voorbeeld. Ten eerste, zoals de commentatoren hierboven al hebben gezegd, is het log-rendement van één periode log(prijs op tijdstip t/prijs op tijdstip t-1), hetgeen ongeveer gelijk is aan de procentuele verandering in de prijs van tijdstip t-1 tot tijdstip t, op voorwaarde dat deze procentuele verandering niet groot is in vergelijking met de omvang van de prijs. (Merk op dat je hier de natuurlijke log moet gebruiken, d.w.z. log naar de basis e – ln-knop op een rekenmachine –).
Het belangrijkste gebruik van de log-return is dat is een proxy voor de procentuele verandering in de prijs, wat wiskundig handig blijkt te zijn, om verschillende redenen die meestal al in de commentaren zijn genoemd.
Maar dat weet u al; uw eigenlijke vraag gaat over het gemiddelde log-rendement over een bepaalde periode. Wat zegt dit over het aandeel?
Het antwoord is: als de koers van het aandeel niet erg verandert, dan is het gemiddelde log-rendement ongeveer gelijk aan de gemiddelde procentuele verandering in de koers, en dat is heel gemakkelijk en snel te berekenen. Maar als de koers zeer volatiel is, dan kan het gemiddelde log-rendement sterk afwijken van de gemiddelde procentuele koersverandering.
Hier is een voorbeeld: de slotkoersen voor Pitchfork Oil van de handel van vorige week zijn: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. De procentuele veranderingen zijn: -0,5, 1,4, -0,58, 1, -0,8, 6,5 (waarbij -0,5 betekent -50%, enz.) De gemiddelde procentuele verandering is 1,17, of 117%. Anderzijds zijn de log-rendementen voor dezelfde periode -0,69, 0,88, -0,88, 0,69, -1,6, 2, en het gemiddelde log-rendement is ongeveer 0,068. Als we dit zouden gebruiken als benadering voor de gemiddelde procentuele verandering in de koers over de hele zeven dagen, zouden we 6,8% krijgen in plaats van 117%, wat helemaal verkeerd is. De reden waarom het fout is, is omdat de prijs zo sterk fluctueerde.
Aan de andere kant zijn de slotkoersen voor United Marshmallow over dezelfde periode 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. De gemiddelde procentuele verandering van dag tot dag is 0,073, en het gemiddelde log-rendement is 0,068, dus in dit geval ligt het log-rendement heel dicht bij de procentuele verandering. En het heeft het voordeel dat het kan worden berekend uit alleen de eerste en de laatste prijs, omdat de eigenschappen van logaritmen impliceren dat het vereenvoudigt tot (log(15)-log(10))/6. Merk op dat dit precies hetzelfde is als voor Pitchfork Oil.
Dus één reden waarom je geïnteresseerd zou kunnen zijn in het gemiddelde log-rendement is dat het een zeer snelle manier is om het gemiddelde rendement te schatten, als de koers van het aandeel niet erg verandert.
Een andere, subtielere reden, is dat het zich eigenlijk beter gedraagt dan het procentuele rendement. Als de koers van Pitchfork van 5 naar 12 springt en dan weer terugvalt naar 5, zijn de procentuele veranderingen +140% en -58%, voor een gemiddelde van +82%. Dat klinkt goed, maar als je het had gekocht op 5, en dan verkocht op 5, zou je eigenlijk 0% hebben verdiend op je geld. De log-rendementen voor dezelfde periode hebben deze verontrustende eigenschap niet, want zij tellen wel op tot 0%.
Wat is het echte verschil in dit voorbeeld? Wel, als u $1 aan Pitchfork had gekocht op dinsdag, toen het 5 was, en het verkocht op woensdag, toen het 12 was, zou u een winst van $1,40 hebben gemaakt. Als u vervolgens op woensdag nog eens $1 had gekocht en op donderdag had verkocht, zou u een verlies van $0,58 hebben geleden. In totaal zou uw winst $0,82 zijn geweest. Dit is wat het gemiddelde percentage rendement berekent.
Aan de andere kant, als u een lange-termijnbelegger was geweest die op dinsdag had gekocht en tot donderdag had vastgehouden, dan is het noemen van een “gemiddeld rendement” van 82% zeer misleidend, omdat het op geen enkele manier overeenkomt met het rendement van 0% dat u in werkelijkheid hebt gekregen!
De moraal is dat het beter kan zijn om naar de log-rendementen te kijken als je een buy-and-hold type belegger bent, omdat log-rendementen wegvallen als de prijzen fluctueren, terwijl procentuele veranderingen in prijs dat niet doen. Maar de keerzijde hiervan is dat uw gemiddelde log-rendement over een periode u niet veel informatie geeft over wat de koersen hebben gedaan, omdat het slechts (log(eindprijs) - log(beginprijs))/aantal perioden is. Aangezien het zo gemakkelijk te berekenen is uit de begin- en eindkoersen zelf, zult u het meestal niet zien op de financiële pagina’s, voor zover ik weet.
Tenslotte, om uw vraag te beantwoorden: “Wijst de kennis van dit ene stukje informatie op iets over het aandeel?”, zou ik zeggen: niet echt. Vanuit het oogpunt van deze ene indicator, lijken Pitchfork Oil en United Marshmallow identieke beleggingen, terwijl ze dat duidelijk niet zijn. Het kennen van het gemiddelde log-rendement is precies hetzelfde als het kennen van de verhouding tussen de eind- en de beginprijs.
Kennis van het logrendement is nuttig - het logrendement kan u helpen het jaarlijkse rendement te berekenen over de periode waarin het werd geraamd - en dit moet vergelijkbaar zijn tussen aandelen.
Men moet alleen voorzichtig zijn met de berekening, zodat er op verstandige wijze rekening wordt gehouden met dividenden.